Пусть
(1)
есть дифференцируемая функция от переменной x . В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x , для которых y принимает положительные значения: . В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений .

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции ,
.
Отсюда
(2) .

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
.

Логарифмическая производная функции y = f(x) - это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x))′ .

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3) .
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x , отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.

Свойство логарифмической производной

Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную :
.
Действительно, применяя свойства логарифма , формулы производной суммы и производной постоянной , имеем:

.

Применение логарифмической производной

Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

Пример 1

Найти производную функции:
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
.

Дифференцируем по переменной x .
В таблице производных находим:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
;
;
;
;
(П1.1) .
Умножим на :

.

Итак, мы нашли логарифмическую производную:
.
Отсюда находим производную исходной функции:
.

Примечание

Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда
;
.
И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.

Ответ

Пример 2

С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем:
(П2.1) .
Дифференцируем по переменной x :
;
;

;
;
;
.

Умножим на :
.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
.

Производная исходной функции:
.

Примечание

Здесь исходная функция неотрицательная: . Она определена при . Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
.
Поскольку

и
,
то это не повлияет на окончательный результат.

Ответ

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что :
(П3.1) .

Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
;
;
;
(П3.2) .

Поскольку , то

.

Примечание

Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда вместо (П3.1) имеем:
;

.
Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) (ln x)′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a :
(2) (log a x)′ = .

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x , которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма . Нам понадобятся следующие формулы:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) .
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).

.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом . Он обозначается так:
.
Тогда ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a :
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1) .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции :
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции . Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x :
(10) .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx .

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx .
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции .
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11) .
Мы видим, что производная не зависит от n . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
- это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

Ответ

; ; .

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции - натурального логарифма от модуля x :
(12) .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a , имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) .

Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) .
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x :

.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1 . Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a , нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.

Сложные производные. Логарифмическая производная.
Производная степенно-показательной функции

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений , которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции , понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. В ходе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими «кандидатами» для этого являются производные простейших из сложных функций, например:

По правилу дифференцирования сложной функции :

При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил: «Чему равна производная тангенса двух икс?». На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ: .

Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.

Пример 1

Найти следующие производные устно, в одно действие, например: . Для выполнения задания нужно использовать только таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась). Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции .

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Ответы в конце урока

Сложные производные

После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается), то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой.

Пример 2

Найти производную функции

Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный приём: берем подопытное значение «икс», например, и пробуем (мысленно или на черновике) подставить данное значение в «страшное выражение».

1) Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма – самое глубокое вложение.

2) Затем необходимо вычислить логарифм:

4) Потом косинус возвести в куб:

5) На пятом шагу разность:

6) И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень:

Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем:

Вроде без ошибок….

(1) Берем производную от квадратного корня.

(2) Берем производную от разности, используя правило

(3) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба).

(4) Берем производную от косинуса.

(5) Берем производную от логарифма.

(6) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения .

Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.

Следующий пример для самостоятельного решения.

Пример 3

Найти производную функции

Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения

Полное решение и ответ в конце урока.

Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?

Пример 4

Найти производную функции

Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.

В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза

Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за «вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:

Теперь осталось второй раз применить правило к скобке :

Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.

Рассмотренный пример можно решить вторым способом:

Оба способа решения абсолютно равноценны.

Пример 5

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.

Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.

Пример 6

Найти производную функции

Здесь можно пойти несколькими путями:

Или так:

Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв за весь числитель:

В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить? Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби :

Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.

Более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти производную функции

Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм

Пример 8

Найти производную функции

Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:

Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от дроби .

Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:

! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.

Само решение можно оформить примерно так:

Преобразуем функцию:

Находим производную:

Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».

А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти производную функции

Пример 10

Найти производную функции

Все преобразования и ответы в конце урока.

Логарифмическая производная

Если производная от логарифмов – это такая сладкая музыка, то возникает вопрос, а нельзя ли в некоторых случаях организовать логарифм искусственно? Можно! И даже нужно.

Пример 11

Найти производную функции

Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать? Можно последовательно применить правило дифференцирования частного, а потом правило дифференцирования произведения. Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная дробь, с которой совсем не хочется иметь дела.

Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логарифмическая производная. Логарифмы можно организовать искусственно, «навесив» их на обе части:

Примечание : т.к. функция может принимать отрицательные значения, то, вообще говоря, нужно использовать модули: , которые исчезнут в результате дифференцирования. Однако допустимо и текущее оформление, где по умолчанию принимаются во внимание комплексные значения. Но если со всей строгостью, то и в том и в другом случае следует сделать оговорку, что .

Теперь нужно максимально «развалить» логарифм правой части (формулы перед глазами?). Я распишу этот процесс очень подробно:

Собственно приступаем к дифференцированию.
Заключаем под штрих обе части:

Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду, поскольку если вы читаете этот текст, то должны уверенно с ней справиться.

Как быть с левой частью?

В левой части у нас сложная функция . Предвижу вопрос: «Почему, там же одна буковка «игрек» под логарифмом?».

Дело в том, что эта «одна буковка игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (если не очень понятно, обратитесь к статье Производная от функции, заданной неявно). Поэтому логарифм – это внешняя функция, а «игрек» – внутренняя функция. И мы используем правило дифференцирования сложной функции :

В левой части как по мановению волшебной палочки у нас «нарисовалась» производная . Далее по правилу пропорции перекидываем «игрек» из знаменателя левой части наверх правой части:

А теперь вспоминаем, о каком таком «игреке»-функции мы рассуждали при дифференцировании? Смотрим на условие:

Окончательный ответ:

Пример 12

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения. Образец оформления примера данного типа в конце урока.

С помощью логарифмической производной можно было решить любой из примеров № 4-7, другое дело, что там функции проще, и, может быть, использование логарифмической производной не слишком-то и оправдано.

Производная степенно-показательной функции

Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс» . Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:

Как найти производную от степенно-показательной функции?

Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:

Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

Дальнейшие действия несложны:

Окончательно:

Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера № 11.

В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.

Пример 13

Найти производную функции

Используем логарифмическую производную.

В правой части у нас константа и произведение двух множителей – «икса» и «логарифма логарифма икс» (под логарифм вложен еще один логарифм). При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась под ногами; и, конечно, применяем знакомое правило :