Алгебра и начала математического анализа

Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Составитель:

учитель математики МОУ СОШ №203 ХЭЦ

г. Новосибирск

Видутова Т. В.

Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование

1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 вариант) (1 вариант) " width="640"

Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.

Построим для различных оснований а графики:

1. y = 2 x

3. y = 10 x

2. y = 3 x

(2 вариант)

(1 вариант)

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);

2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0

при х  ∞;

3) Все они обращены выпуклостью вниз;

4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол, который образует касательная с осью х

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.

Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.

В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.

Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:

е = 2, 7182818284590… ;

На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

График и свойства функции y = е x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значения;

6) непрерывна;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) выпукла вниз;

9) дифференцируема.

Функцию y = е x называют экспонентой .

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :

(e x ) = e x

(е 5х )" = 5е 5х

(е х-3 )" = е х-3

(е -4х+1 )" = -4е -4х-1

Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ:

Пример 2 .

x = 3.

Пример 3 .

Исследовать на экстремум функцию

х=0 и х=-2

х = -2 – точка максимума

х = 0 – точка минимума

Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).

График и свойства функции y = ln x

Свойства функции y = ln x:

1) D (f) = (0; + ∞);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + ∞);

4) не ограничена;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Е (f) = (- ∞; + ∞);

8) выпукла верх;

9) дифференцируема.

0 справедлива формула дифференцирования " width="640"

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х0 справедлива формула дифференцирования

Пример 4:

Вычислить значение производной функции в точке x = -1.

Например:

Интернет-ресурсы:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Урок алгебры в 11-м классе по теме: "Дифференцирование и интегрирование показательной и логарифмической функций"

Цели урока:

Систематизировать материал, изученный по теме «Показательная и логарифмическая функции».

Формировать умение решать задачи на дифференцирование и интегрирование показательной и логарифмической функций.

Использовать возможности информационных технологий для развития мотивации к изучению сложных тем в математическом анализе.

Изложить требования к выполнению зачётной работы по данной теме на следующем уроке.

Ход урока

I. Организационный момент (1 – 2 минуты).

Учитель сообщает цели урока.

Класс разбивается на 4 группы.

II . Блиц-опрос по формулам (домашнее задание).

Беседа в форме диалога с учащимися.

Допустим, Вы положили 10000 рублей в банк под ставку 12% годовых. Через сколько лет Ваш вклад удвоится?

Для этого нам надо решить уравнение: , то есть Как?

Надо перейти к основанию 10, то есть (с помощью калькулятора)

Таким образом, удвоение вклада произойдет через шесть лет (с небольшим).

Здесь нам понадобилась формула перехода к новому основанию. А какие формулы, связанные с дифференцированием и интегрированием логарифмической и показательной функций, вы знаете? (все формулы взяты со страниц учебника стр. 81, стр. 86).

Вопросы друг другу по цепочке.

Вопросы учителю.

Учитель просит 1 – 2 формулы вывести.

На отдельных маленьких листочках математический диктант по знанию формул. Идет взаимопроверка. Старшими в группах выводится средний арифметический балл и заносится в таблицу.

Таблица активности

Вид деятельности
1. Знание формул.
2. Индивидуальные знания. Работа в паре.
3. Устная работа.
4. Контрольные тесты (оценка компьютера).
5. Самостоятельная работа (задачи обязательного уровня).
6. Задачи повышенной сложности.

III. Устная работа:

Определить количество решений уравнений.

А) ;

Б) ;

После ответа учащихся с помощью кодоскопа на экран воспроизводятся графики.

А) 2 решения

Б) 1 решение

Дополнительный вопрос: Найти наибольшее значение функции

Убывающая функция наибольшее значение тогда, когда показатель имеет наименьшее значение.

(2 способами)

IV. Индивидуальная работа.

Во время устной работы от каждой группы с индивидуальными заданиями работают 2 человека.

1 группа: Один исследует функцию , второй на интерактивной доске стоит график этой функции.

Дополнительный вопрос: . Ответ: (Число е ? Смотреть стр. 86 учебника).

2 группа: Найдите кривую, проходящую через точку n (0; 2), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания. Один составляет дифференциальное уравнение и находит общее решение, второй находит частное решение, использовав начальные условия.

Ответ:

Дополнительный вопрос: Чему равен угол между касательной, проведенной в т. Х=0 к графику функции y = e x и осью абсцисс. (45 o)

График этой функции носит название «экспонента» (Найдите сведение об этом в учебнике и сверьте своё обоснование с объяснениями в учебнике стр. 86).

3 группа:

Сравните

Один сравнивает с помощью микрокалькулятора, а другой без.

Дополнительный вопрос: Определите, при каком x0 равенство ?

Ответ: x = 2 0,5 .

4 группа: Докажите, что

Доказательство разными способами.

Дополнительный вопрос: Найдите приближенное значение e 1,01 . Сравните свое значение с ответом в примере 2 (стр. 86 учебника).

V. Работа с учебником.

Ребятам предлагается рассмотреть примеры пр. 1 – пр. 9 (стр 81 – 84 учебника). Опираясь на эти примеры, выполнить контрольные тесты.

VI. Контрольные тесты.

Задание на экране. Идет обсуждение. Выбирается правильный вариант ответа, идет обоснование. Компьютер выдает оценку. Старший в группе отмечает в таблице активность своих товарищей при выполнении теста.

1) Дана функция f(x) = 2-e 3x . Определите, при каком значении С график её первообразной F(х)+С проходит через точку М (1/3;-e /3)

Ответ: а) e -1 ; б) 5/8; в) -2/3; г) 2.

2) Дана функция f(x) = e 3x-2 +ln(2x+3). Найдите f" (2/3)

Ответ: а) -1; б) 45/13; в) 1/3; г) 2.

3) Удовлетворяет ли функция y = e ax уравнению y" = ay .

Ответ: а) да; б) нет; в) всё зависит оба; г) нельзя сказать определенно.

VII. Самостоятельная работа.

Задачи обязательного уровня.Найти точки экстремума функций.

		III группа

Старший в группе выставляет в таблице баллы за это задание.

В это время от каждой группы по одному человеку работают у доски с задачами повышенной сложности.

		III группа

Учитель по ходу показывает полное письменное оформление задач (оно проектируется на экран, это очень важно для выполнения последующей зачетной работы).

VIII. Домашнее задание.

IX. Итог урока:

Выставление оценок с учетом полученных баллов.Нормы оценок за предстоящую на следующем уроке зачетную работу.

План-конспект урока

Предмет: Алгебра

Дата: 2.04.13.

Класс: 11 класс

Учитель: Тышибаева Н.Ш.

Тема: Дифференцирование логарифмической и показательной функции. Первообразная показательной функции.

Цель:

1) сформулировать формулы производных логарифмической и показательной функций; научить находить первообразную показательной функции

2) развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, умение анализировать и сравнивать, развивать познавательный интерес к предмету;

3) воспитывать коммуникативную культуру учащихся, навыки коллективной деятельности, сотрудничества, взаимопомощи .

Тип урока: объяснение нового материала и закрепление полученных знаний, умений и навыков.

Оборудование : карточки, интерактивная доска.

Технология: дифференцированный подход

Ход урока :

1.Орг. момент .(2мин) .

2. Разгадывание кроссворда(8мин)

1.Французский математик XVII века Пьер Ферма определил эту линию так «Прямая, наиболее тесно прилегающая к кривой в малой окрестности точки».

Касательная

2.Функция, которая задается формулой у = а х .

Показательная

3.Функция, которая задается формулой у = log a x.

Логарифмическая

4.Производная от перемещения

Скорость

5.Как называется функция F(x) для функции f(x), если выполняется условие F"(x) =f(x) для любой точки из интервала I.

Первообразная

6.Как называется зависимость между X и У, при которой каждому элементу Х ставится в соответствие единственный элемент У.

Функция

7. .Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(t(x)), то эту функцию называют…

Сложная

Слово по вертикали фамилия французского математика и механика

Лагранж

3.Объяснение нового материала : (10мин)

Показательная функция в любой точке области определения имеет производную и эта производная находится по формуле:

( .ln a в формуле заменим число а на е, получим

(e х )" = e х_ формула производной экспоненты
Логарифмическая функция в любой точке области определения имеет производную, и эта производная находится по формуле:

(log a x)" = в формуле заменим число а на е, получим

Показательная функция у = (а в любой точке области определения имеет первообразную и эта первообразная находится по формуле F(х) = + С

4 .Закрепление нового материала(20мин)

Математический диктант.

1.Записать формулу производной показательной функции(а х )"

(а х )" = а х ·ln a

2. Записать формулу производной экспоненты. (e х )"

(e х )" = e х

3. Записать формулу производной натурального логарифма

4. Записать формулу производной логарифмической функции (log a x)"=?

(log a x)" =

5. Записать общий вид первообразных для функции f(x) = а х .

F(х) = + С

6. Записать общий вид первообразных для функции: , x≠0. F(x)=ln|x|+С

Работа у доски

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.Д/з №257,№261(2мин)

7. Итог урока:(3мин)

- Какой формулой задается логарифмическая функция?

Какой формулой задается показательная функция?

По какой формуле находится производная логарифмической функции?

По какой формуле находится производная показательной функции

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.